Nombres de Fermat - Corrigé

Énoncé

Pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , on note \(F_n=2^{2^n}+1\) .

La suite \((F_n)\) est appelée suite des nombres de Fermat.

1. Calculer les cinq premiers termes de la suite \((F_n)\) , et vérifier qu'ils sont tous premiers.

2. Vérifier que \(F_5\) est divisible par 641.

3. Montrer que, pour tout \(x \in \mathbb{R}\) , pour tous \(p\) , \(q \in \mathbb{N}\) , on a 
\(\begin{align*}x^{pq}-(-1)^p=(x^q+1)\sum\limits_{k=0}^{p-1}(x^q)^k(-1)^{p-1-k}\end{align*}\) .

4. Soit \(m \in \mathbb{N}\) . Montrer que, si \(2^m+1\) est premier, alors \(m\) est une puissance de \(2\) .
On pourra raisonner par contraposée, en supposant que \(m\) n'est pas une puissance de \(2\) , c'est-à-dire que \(m=pq\) avec \(p>1\) impair et \(q \in \mathbb{N}\) .

5. La réciproque est-elle vraie ?

Solution

1. On a :

• \(F_0=2^{2^0}+1=2^1+1=3\) ;
• \(F_1=2^{2^1}+1=2^2+1=5\) ;
• \(F_2=2^{2^2}+1=2^4+1=17\) ;
• \(F_3=2^{2^3}+1=2^8+1=257\) ;
• \(F_4=2^{2^4}+1=2^{16}+1=65~537\) .

Ce sont effectivement des nombres premiers (on peut s'aider d'un tableur pour \(F_3\) et \(F_4\) ).

2. On a \(F_5=2^{2^5}+1=4~294~967~297=641 \times 6~700~417\) .

3. Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) , pour tous \(p\) , \(q \in \mathbb{N}\) , on a 
\(\begin{align*}(x^q+1)\sum\limits_{k=0}^{p-1}(x^q)^k(-1)^{p-1-k}& = \left(\sum\limits_{k=0}^{p-1}(x^q)^{k+1}(-1)^{p-1-k} \right)+\left(\sum\limits_{k=0}^{p-1}(x^q)^{k}(-1)^{p-1-k} \right)\\ & = \left(\sum\limits_{k=1}^{p}(x^q)^{k}(-1)^{p-k} \right)+\left(\sum\limits_{k=0}^{p-1}(x^q)^{k}(-1)^{p-1-k} \right)\\ & = \left(\sum\limits_{k=1}^{p}(x^q)^{k}(-1)^{p-k} \right)-\left(\sum\limits_{k=0}^{p-1}(x^q)^{k}(-1)^{p-k} \right)\\ & = (x^q)^p(-1)^{p-p}-(x^q)^0(-1)^{p-0}\\ & = x^{pq}-(-1)^p\end{align*}\)  
donc \(\begin{align*}x^{pq}-(-1)^p=(x^q+1)\sum\limits_{k=0}^{p-1}(x^q)^k(-1)^{p-1-k}\end{align*}\) .

4. Raisonnons par contraposée, et supposons que \(m\) n'est pas une puissance de \(2\) , c'est-à-dire que \(m=pq\) avec \(p>1\) impair et \(q \in \mathbb{N}\) .
On a alors : \(\begin{align*}2^m+1=2^{pq}-(-1)^p=(2^q+1)\sum\limits_{k=0}^{p-1}(2^q)^k(-1)^{p-1-k}\end{align*}\)  d'après la question 3.
Par conséquent, \(2^q+1\) divise \(2^m+1\) , donc \(2^m+1\) n'est pas premier.
On en déduit que, si \(2^m+1\) est premier, alors \(m\) est une puissance de \(2\) .

5. La réciproque est fausse : prenons \(m=2^5\) . L'entier \(2^{2^5}+1=F_5\) n'est pas premier selon la question 2, car il est divisible par \(641\) .